Summe von drei Kubikzahlen

Lässt sich eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$ als Summe dreier Kubikzahlen darstellen?  Wenn ja, auf wie viele verschiedene Weisen?  So lautet ein ungelöstes Problem der Zahlentheorie. Z. B. lässt sich die Zahl ${\displaystyle 10}$ u. a. als die Summe der drei Kubikzahlen ${\displaystyle 1^{3}=1}$, ${\displaystyle \,1^{3}=1}$ und ${\displaystyle 2^{3}=8}$ darstellen↓. Für die Zahl ${\displaystyle 13}$ existiert dagegen nachweislich keine solche Zerlegung↓. Ist ${\displaystyle n}$ eine beliebige ganze Zahl, so geht es um die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung ${\displaystyle x^{3} y^{3} z^{3}=n}$.

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ${\displaystyle n}$ ist ein seit 200 Jahren (1825) ungelöstes Problem der Zahlentheorie. Seit mehr als 70 Jahren sind durch Einsatz von Computern und Brute-Force-Suche viele einzelne Lösungen (bis in den Bereich von 10²⁰) gefunden worden, eine grundlegend analytische Lösung steht aber weiterhin aus.

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle n=x^{3} y^{3} z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für ${\displaystyle n}$ die folgende:

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für ${\displaystyle n}$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung ${\displaystyle n=x^{3} y^{3} z^{3}}$ für alle ${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.

• Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle n}$, wie zum Beispiel die folgenden:

Sei ${\displaystyle n=x^{3} y^{3} z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem ${\displaystyle n}$ gelten die folgenden Bedingungen für ${\displaystyle x}$:

Wenn ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0, 1, 2}$ oder ${\displaystyle 4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,-1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 1, 2}$ oder ${\displaystyle 4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv -1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv 2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv 1{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}}$.

Chronologie der Entdeckungen

1825

S. Ryley, ein Schullehrer aus Leeds, beschäftigt sich mit dem Thema und findet eine generische Lösung für rationale Zahlen.

1908

A. S. Verebrusov findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für ${\displaystyle n=2}$.

1936

Kurt Mahler findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für ${\displaystyle n=1}$.

1942 und 1953

Louis Joel Mordell beschäftigt sich mit dem Thema. Die Ergebnisse findet man in seinem Buch „Diophantine Equations (1969)“

1954

Miller und Woollet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 100}$ per Brute-Force-Suche aller Kombinationen ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 3164}$.

Die Berechnungen wurden auf einer Electronic Delay Storage Automatic Calculator in Cambridge durchgeführt.

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen ${\displaystyle 30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84}$ und ${\displaystyle 87}$.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weitere Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 1000}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq 2^{16}}$ und ${\displaystyle 0\leq z-x\leq 2^{16}}$.

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ fanden sie folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 87=(-1.972)^{3} (-4.126)^{3} \;4.271^{3}}$

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 39=\;117.367^{3} \;134.476^{3} (-159.380)^{3}}$

1994

Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 84=(-8.241.191)^{3} (-41.531.726)^{3} \;41.639.611^{3}}$

1999

Durch Finden weiterer drei Lösungen waren für ${\displaystyle n\leq 100}$ bereits für 75 verschiedene ${\displaystyle n}$ Lösungen bekannt. Die neuen Lösungen waren:

Damit fehlten nur noch die Lösungen für ${\displaystyle n=33,\ 42}$ und ${\displaystyle 74}$.

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.

2007

fehlten nur noch für folgende ${\displaystyle n}$ zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 1000}$ obige Lösungen:

${\displaystyle 33,\ 42,\ 74,\ \ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

26. April 2016

wurde das Problem für ${\displaystyle n=74}$ von Sander Huisman gelöst:

${\displaystyle 74=\;66.229.832.190.556^{3} \;283.450.105.697.727^{3} (-284.650.292.555.885)^{3}}$

28. April 2019

wurde das Problem für ${\displaystyle n=33}$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:

${\displaystyle 33=(-2.736.111.468.807.040)^{3} (-8.778.405.442.862.239)^{3} \;8.866.128.975.287.528^{3}}$

6. September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl ${\displaystyle n\leq 100}$, nämlich für ${\displaystyle n=42}$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:

${\displaystyle 42=\;12.602.123.297.335.631^{3} \;80.435.758.145.817.515^{3} (-80.538.738.812.075.974)^{3}}$

Da ${\displaystyle n=42}$ das letzte ungelöste Problem bis ${\displaystyle n\leq 100}$ für diese Art von Gleichung war und das Ergebnis „42“ schon vorher feststand, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.

Die Suche findet dabei auf bis zu einer halben Million Rechnern von Freiwilligen statt.

24. Oktober 2019

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen war somit nur noch für die folgenden acht Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt:

${\displaystyle 114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

5. Januar 2021

wurde, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, ein weiterer Fall gelöst:

${\displaystyle 759=(-6.941.531.883.806.363.291)^{3} (-143.070.303.856.622.169.975)^{3} \;143.075.750.505.019.222.645^{3}}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden sieben Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt (Stand: 5. Januar 2021):

${\displaystyle 114,\ 390,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

Momentan ist also die Gleichung ${\displaystyle 114=x^{3} y^{3} z^{3}}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Beispiele für Lösungen der Gleichung

Lösungen, in denen (mindestens) eine der Zahlen ${\displaystyle x,\ y,\ z=0}$ ist, nennen man triviale Lösungen. Sind alle ungleich 0, nennt man sie nicht-triviale Lösungen.
Lösungen, in denen ${\displaystyle x,\ y,\ z}$ teilerfremd sind, nennt man primitive Lösungen, andernfalls nicht-primitive Lösungen.

Lösungen für n = 0

Die einfachste triviale Darstellung für ${\displaystyle n=0}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 0=0^{3} 0^{3} 0^{3}}$.

Weitere triviale Lösungen lauten:

${\displaystyle 0=0^{3} (-a)^{3} \;a^{3}}$  mit  ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$.

Nichttriviale Lösungen existieren nicht.

Beweis:

Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle 0=x^{3} y^{3} z^{3}}$ mit ${\displaystyle x,y,z\not =0}$ . Genau eine oder zwei der Variablen ${\displaystyle x,y,z}$ müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass ${\displaystyle x>0,y>0,z<0}$ (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung ${\displaystyle -x,-y,-z}$). Bringt man ${\displaystyle z^{3}}$ auf die rechte Seite, erhält man mit ${\displaystyle x^{3} y^{3}=-z^{3}}$ eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung ${\displaystyle x^{3} y^{3}=z'^{3}}$ mit ${\displaystyle z'=-z>0}$. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung ${\displaystyle x^{3} y^{3}=z^{3}}$ für positive ganze Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {N} }$ keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle x^{3} y^{3} z^{3}=0}$ geben kann.  ∎ 

Lösungen für n = 1

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=1}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 1=0^{3} 0^{3} 1^{3}}$.

Neben dieser existieren aber auch weitere Lösungen, wie z. B.:

${\displaystyle 1=(-6)^{3} (-8)^{3} \;9^{3}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle 1=11980^{3} \;131769^{3} (-131802)^{3}}$.

Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Lösungen. Die einfachste lautet:

${\displaystyle 1=c^{3} (-c)^{3} 1^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:

${\displaystyle 1=(9c^{4})^{3} (\pm 3c-9c^{4})^{3} (1\mp 9c^{3})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ \ =\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad 1\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1} \underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}=1}$

wie auch folgende:

${\displaystyle 1=(-135c^{4} 3888c^{10})^{3} (3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3} (1-9c^{3} 648c^{6} 3888c^{9})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Für ${\displaystyle n=1}$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien. Neben

${\displaystyle (x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4}, 3c-9c^{4},1-9c^{3})}$,

${\displaystyle (x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1 9c^{3})}$

lassen sich für jedes einzelne ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$ unendlich viele weitere Tripel ${\displaystyle (x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})}$ mit ${\displaystyle k\geq 2}$ rekursiv mittels

${\displaystyle x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}}$,

${\displaystyle y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}}$ und

${\displaystyle z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2} 216c^{6} 4}$

konstruieren. Für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle 1}$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für ${\displaystyle k=2}$ die kompliziertere.

Lösungen für n = 2

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=2}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 2=0^{3} 1^{3} 1^{3}}$,

die ersten nicht-triviale

${\displaystyle 2=(-5)^{3} (-6)^{3} \;7^{3}}$.

Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet

${\displaystyle 2=(1 6c^{3})^{3} (1-6c^{3})^{3} (-6c^{2})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Weitere bekannte Lösungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:

Lösungen für n = 3

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Lösungen für ${\displaystyle n=3}$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

${\displaystyle 3=1^{3} 1^{3} \quad 1^{3}}$  und

${\displaystyle 3=4^{3} 4^{3} (-5)^{3}}$

Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:

${\displaystyle 3=(-472.715.493.453.327.032)^{3} (-569.936.821.113.563.493.509)^{3} \;569.936.821.221.962.380.720^{3}}$

Damit konnte schließlich eine 1953 von L. Mordell gestellte Frage nach 66 Jahren (47 Jahre nach seinem Tod) beantwortet werden:

Are there any solutions for  n = 3  other than permutations of  (1, 1, 1)  and  (4, 4, −5) ?

Allerdings steht nach Kenntnis dieser drei Lösungen die Frage

Gibt es mehr als diese drei Lösungen ?

im Raum, denn es ist weiterhin unbekannt, ob es nun drei, vier, zweiundvierzig, endlich viele oder unendlich viele Lösungen für ${\displaystyle n=3}$ gibt oder ob die Frage im Sinne von Gödel nicht entscheidbar ist.

Lösungen für n = 4 und 5

Für ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle 5}$ gibt es keine Lösungen. Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ prinzipiell keine Lösungen existieren können.

Lösungen für n = 6

Es gibt mehrere Lösungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

Lösungen für n = 7

Es gibt mehrere Lösungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

Lösungen für beliebige Kubikzahlen n = k³

Für Kubikzahlen ${\displaystyle n=k^{3}}$ lassen sich unendlich viele sehr einfache, aber nicht triviale Lösungen konstruieren:

${\displaystyle n=k^{3} (-a)^{3} a^{3}\qquad }$ mit beliebigen ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Lösungen für n = 10

Es gibt mehrere Lösungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

Diese sind auf heutigen Computern schnell gefunden. Erst mit größerem Abstand findet man:

Lösungen für n = 13 und 14

Für ${\displaystyle n=13}$ und ${\displaystyle 14}$ gibt es keine Lösungen. Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ prinzipiell keine Lösungen existieren können.

Lösungen für n = 114

Für ${\displaystyle n=114}$ ist aktuell keine Lösung bekannt. Sie ist aktuell die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Man vermutet aber, dass es mit hoher Wahrscheinlichkeit (mindestens) eine Lösung gibt, dass diese aber so groß ist, dass man sie bisher mit Brute-Force noch nicht gefunden hat. Es gibt weder einen Beweis, dass eine Lösung existieren muss noch dass sie nicht existieren kann.

Lösungen für n = 327

${\displaystyle n=327}$ weist erst für große Zahlen Lösungen auf, die aber dann vergleichsweise eng beieinander liegen. Auch das ist möglich.

Konstruierbare Lösungen für n = k³m

Lässt sich ${\displaystyle n}$ als Produkt einer Kubikzahl ${\displaystyle k^{3}}$ und einer Zahl ${\displaystyle m}$ darstellen, erbt diese Zahl ${\displaystyle n}$ alle Lösungen der Zahl ${\displaystyle m}$ auf folgende Weise:

${\displaystyle m=x^{3} y^{3} z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3} y^{3} z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3} (ky)^{3} (kz)^{3}}$

Beispiel

${\displaystyle 1=(-6)^{3} (-8)^{3} \;9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3} (-16)^{3} \;18^{3}}$

Man nennt diese Lösungen nicht-primitive Lösungen. Ein Gegenbeispiel ist ${\displaystyle 8=15^{3} 33^{3} (-34)^{3}}$ als primitiv nicht-triviale Lösung.

Kleinste Lösungen für n = 0 bis 134

Folgende Tabelle enthält für ${\displaystyle 0\leq n\leq 134,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ die jeweils kleinsten (in Klammern, kursiv und in blau, wenn existent und abweichend, die kleinsten nichttrivialen) Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3} y^{3} z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$: 

Verwandte Probleme

Gleichung für rationale Zahlen

Für ${\displaystyle \,x,y,z\in \mathbb {Q} }$ existieren für ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} }$ unendlich viele Lösungen. Für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n>0}$ und einen frei wählbaren Parameter ${\displaystyle b=\mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ erhält man Lösungen z. B. durch:

${\displaystyle x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3} n^{4})(3b^{3} n^{2}) 72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3} n^{2})^{2}}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3} n^{2})}}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3} n^{2})^{2}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle x^{3} y^{3} z^{3}}$ ergibt nach längerer Rechnung und finalem Kürzen unabhängig von ${\displaystyle b}$ (solange ${\displaystyle \neq 0}$) genau den Wert von ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3} y^{3} z^{3}=&\;{\frac {{\big (}(9b^{6}-30n^{2}b^{3} n^{4})(3b^{3} n^{2}) 72n^{4}b^{3}{\big )}^{3} {\big (}(30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4})(3b^{3} n^{2}){\big )}^{3} {\big (}6bn\ (18nb^{5}-6n^{3}b^{2}){\big )}^{3}}{{\big (}6bn\ (3b^{3} n^{2})^{2}{\big )}^{3}}}\\[1ex]=&\;{\text{ ... sehr viel Rechenaufwand und Möglichkeiten des sich Verrechnens bei Bewunderung an den Autor dieser Formel ...}}\\[1ex]=&\;{\frac {157464\ b^{21}n^{4} 314928\ b^{18}n^{6} 262440\ b^{15}n^{8} 116640\ b^{12}n^{10} 29160\ b^{9}n^{12} 3888\ b^{6}n^{14} 216\ b^{3}n^{16}}{157464\ b^{21}n^{3} 314928\ b^{18}n^{5} 262440\ b^{15}n^{7} 116640\ b^{12}n^{9\;} 29160\ b^{9}n^{11} 3888\ b^{6}n^{13} 216\ b^{3}n^{15}}}\\[1ex]=&\;n\\\end{aligned}}}$

Sobald eine der Basen ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar. Für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ z. B.:

${\displaystyle x^{3} y^{3} z^{3}=n\quad \longrightarrow \quad x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}}$,   ${\displaystyle n}$ gegeben; ${\displaystyle \ y,z}$ beliebig wählbar

Summe von fünf Kubikzahlen

Jede ganze Zahl kann als Summe von fünf Kubikzahlen geschrieben werden.

Beweis

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllllll}6k 0&=&(k 1)^{3}& &(k-1)^{3}& &(-k)^{3}& &(-k)^{3}& &(0)^{3}\\6k 1&=&(k 1)^{3}& &(k-1)^{3}& &(-k)^{3}& &(-k)^{3}& &(1)^{3}\\6k 2&=&(k)^{3}& &(k-2)^{3}& &(-k 1)^{3}& &(-k 1)^{3}& &(2)^{3}\\6k 3&=&(k-3)^{3}& &(k-5)^{3}& &(-k 4)^{3}& &(-k 4)^{3}& &(3)^{3}\\6k 4&=&(k 3)^{3}& &(k 1)^{3}& &(-k-2)^{3}& &(-k-2)^{3}& &(-2)^{3}\\6k 5&=&(k 2)^{3}& &(k)^{3}& &(-k-1)^{3}& &(-k-1)^{3}& &(-1)^{3}\\\end{array}}}$

Da jede Zahl als ${\displaystyle 6k 0\ldots 5}$ geschrieben werden kann, folgt daraus der Satz.  ∎ 

Summe von vier Kubikzahlen

Ähnlich offen wie das Problem der Summe von drei Kubikzahlen ist (wider Erwarten) das von vier Kubikzahlen. Bisher konnten nur Konstruktionsvorschriften für Zahlen der Form ${\displaystyle n=9k\pm 0\ldots 3}$ gefunden werden, aber nicht für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$. Die Vermutung konnte bisher weder widerlegt noch bewiesen werden.

Weblinks

• W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
• Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³ y³ z³=k on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203), Juli 1993, S. 235–244, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³ y³ z³=n. Mathematics of Computation 62 (206), April 1994, S. 941–942, abgerufen am 24. September 2019. 
• Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³ y³ z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
• Erik Dofs: Solution of x³ y³ z³=nxyz. Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³ y³ z³=n. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 841–851, abgerufen am 19. September 2019. 
• Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³ y³ z³=n. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019. 
• Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. Mathematics of Computation 76 (259), Juli 2007, S. 1683–1690, abgerufen am 19. September 2019. 
• Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
• Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 19. September 2019. 

Einzelnachweise